Saturday, December 19, 2020

Sum of Increasing Series

 Sum of Increasing Series


The Sum From 1 to N - Increasing by 1


It is well known that sum from 1 to N, which each term increasing by 1 is:


1 + 2 + 3 + 4 + ... + N = ∑ x from x = 1 to N = (N + 1) * N / 2


The derivation is fairly easy.  Let S be the sum:


S = 1 + 2 + 3 + ... + N-1 + N


Add S to both sides:


2 * S = 1 + 2 + 3 + ... + N-1 + N + 1 + 2 + 3 ... + N-1 + N


Thanks to the commutative property of addition, we can arrange terms, and with a clever and creative way of arranging terms:


2 * S = ( 1 + N ) + ( 2 + N - 1 ) + ( 3 + N - 2 ) + ... + ( N - 1 + 2 ) + ( N + 1 )


Note that:


2 * S = 

1   +    2   +   3   + ... +  N-1  + N +

N  +  N-1 + N-2  + ..  +   2   +  1


Written this way, there are N "pairs".  Hence:


2 * S = ( 1 + N ) + ( N + 1 ) + ( N +1 ) + ... + ( N + 1 ) + ( N + 1 )


2 * S = ( N + 1 ) * N


Solving for S:


S =  ( N + 1 ) * N / 2


The Sum From 1 to N - Increasing by 2


Now lets consider the sum:


1 + 3 + 5 + 7 + ...


Fun fact: Adding odd numbers in this fashion will always total perfect squares.


1 + 3 = 4 = 2^2

1 + 3 + 5 = 9 = 3^2

1 + 3 + 5 + 7  = 16 = 4^2

1 + 3 + 5 + 7 + 9  = 25 = 5^2

... and so on


Let's define S as the sum:


S = 1 + 3 + 5 + ... + N-4 + N-2 + N


Note that

1 = 2 * 0 + 1

3 = 2 * 1 + 1

5 = 2 * 2 + 1

and so on...


For integer q,

N = 2 * q + 1


Then:


S = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2*(q-2) + 1 ) + ( 2*(q-1) + 1) + ( 2*q + 1 )


Using the same strategy as last time:


2 * S = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2*(q-2) + 1 ) + ( 2*(q-1) + 1) + ( 2*q + 1 ) 

           + 1 + 3 + 5 + ... + ( 2*(q-2) + 1 ) + ( 2*(q-1) + 1) + ( 2*q + 1 )


2 * S =

     1         +          3            +         5            + ... + (2*(q-2) + 1) + (2*(q-1) + 1) +   (2*q + 1) +

(2*q + 1) + (2*(q-1) + 1)  + (2*(q-2) + 1) +  ... +             5        +            3        +     1


Combine each pair as such:


2  * S = (2*q + 2) + (2*q + 2) + (2*q + 2) + ... + (2*q + 2) + (2*q + 2) + (2*q + 2)


Since q starts at q = 0, there are q+1 "pairs".  


2 * S = (q + 1) * (2*q + 2)


S = (q + 1) * (2*q + 2) / 2


To show that the sum is a perfect square:


S = (q + 1) * (2*q + 2) / 2


= (2*q^2 + 2*q  + 2*q + 2) / 2


= (2*q^2 + 4*q + 2) / 2


= (q^2 + 2*q + 1)


= (q + 1)^2


Example:


Calculate 7^2 (albeit the "longer" way):


7 = q+1;  q = 6:


S = (6 + 1) * (2*6 + 2) / 2 = 7 * 14 / 2 = 7 * 7 = 49


The Sum From 1 to N - Increasing by 3


Now add the series:


S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + N - 3 + N


where each term increases by 3.  Letting q be a positive integer and noting that


1 = 3*0 + 1

4 = 3*1 + 1

7 = 3*2 + 1

10 = 3*3 + 1

and so on...


Then:


S = (3*0 + 1) + (3*1 + 1) + (3*2 + 1) + .... + (3(q-1) + 1) + (3q + 1)


2* S 

= (3*0 + 1) + (3*1 + 1) + (3*2 + 1) + ... + (3(q-1) + 1) + (3q + 1) 

+ (3*0 + 1) + (3*1 + 1) + (3*2 + 1) + ... + (3(q-1) + 1) + (3q + 1)


2 * S 

= (3*0 + 1) + (3*1 + 1)     + (3*2 + 1)     + ... + (3(q-1) + 1) + (3q + 1) 

+ (3*q + 1) + (3(q-1) + 1) +(3(q-2) + 1) + ...  +  (3*1 + 1)    + (3*0 + 1)


There are q+1 pairs.


2 * S 

= (3*q + 2)  + (3*q + 2) + (3*q + 2) + ... + (3*q + 2) + (3*q + 2)


2 *S = (q + 1) * (3*q + 2)


S = (q + 1) * (3*q + 2) / 2


Example:


q = 5  (terms from 0 to 5)


S = (5 + 1) * (3*5 + 2) / 2 = 6 * 17 / 2 = 51


1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 = 51 


The Sum From A for q terms, increasing by D


Let A ≥ 0, D > 0 and q be a positive integer, and A is a starting term, let the sum S be:


S = A + (A + D) + (A + 2*D) + (A + 3*D) + ... + (A + (q-2)*D) + (A + (q-1)*D) + (A + q*D)


Since we start at q = 0, there are q+1 terms.


2*S =

A + (A + D) + (A + 2*D) + (A + 3*D) + ... + (A + (q-2)*D) + (A + (q-1)*D) + (A + q*D) +

A + (A + D) + (A + 2*D) + (A + 3*D) + ... + (A + (q-2)*D) + (A + (q-1)*D) + (A + q*D)


2*S = 

A + (A + D) + (A + 2*D) + ... + (A + (q-2)*D) + (A + (q-1)*D) + (A + q*D) +

(A + q*D) + (A + (q-1)*D) + (A + (q-2)*D) + ... + (A + 2*D) + (A + D) + A


2*S = (2*A + q*D) + (2*A + q*D) + (2*A + q*D) + ... + (2*A + q*D) + (2*A + q*D) + (2*A + q*D) 


2*S = (q + 1) * (2*A + q*D)


S = (q + 1) * (2*A + q*D) / 2


Example:


A = 10, D = 7; q = 4  (5 terms, increase by 7, initial term is 10)


(4 + 1) * (2*10 + 4*7) / 2 = 5 * (20 + 28) / 2 = 120


Note:  10 + 17 + 24 + 31 + 38  = 120


Source:


Knott, Dr. Ron "Proving that 1+2+3+...+n is n(n+1)/2"  February 12, 2003.  Accessed December 6, 2020.  http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/runsums/triNbProof.html


Eddie


All original content copyright, © 2011-2020.  Edward Shore.   Unauthorized use and/or unauthorized distribution for commercial purposes without express and written permission from the author is strictly prohibited.  This blog entry may be distributed for noncommercial purposes, provided that full credit is given to the author. 


1 comment:

  1. ยินดีต้อนรับสู่ UPLAY365.COM เว็บพนันออนไลน์ All In One ที่รวมเว็บพนันออนไลน์อันดับ 1 ไว้ที่เดียวกันมากที่สุด ไม่ว่าจะเป็น เกมส์ไพ่ ที่เป็นที่นิยม เช่นบาคาร่า แบล็คแจ็ค เสือมังกร หรือจะเป็น รูเล็ต สล็อตออนไลน์ คีโน โป๊กเกอร์ forex ไก่ชน เกมส์ยิงปลา แทงบอล แทงบาส เทนนิส ESPORT แทงมวยไทย และอื่นๆอีกมากมาย พร้อมเทคโนโลยีชั้นนำจากผู้ผลิตซอฟต์แวร์เกมส์ระดับโลก ความน่าเชื่อถือได้มาเป็นอันดับ 1 สามารถเล่นได้ทั้งบนคอมพิวเตอร์ , มือถือ ระบบ android และ IOS *คาสิโนออนไลน์ : สามารถเลือกเล่นกับคาสิโนชั้นนำดังนี้ SexyBaccarat, AG Casino, GOLD Casino, SA Casino, W88 Casino, D88 Casino, WM Casino, GD Casino เป็นต้น *แทงบอล : U กีฬา (U SPORTS) , S กีฬา (S SPORTS) มั่นใจได้เลยว่า อัตราการจ่ายค่าน้ำดีที่สุดต้อง uplay365 เหมาะสำหรับทั้งนักพนันมืออาชีพและ มือใหม่ โดยทางเรามีพนักงานคอยสอนเรื่องการแทงบอลเบื้องต้น แทงง่าย อัตราจ่ายดี *สล็อตออนไลน์ ,เกมส์ยิงปลา : JOKER123,PLAYTECH และอื่นๆ อีกมากมาย ทั้งหมดนี้ สามารถเล่นได้ใน 1 ยูสเซอร์เท่านั้น สนใจสมัครสมาชิกรับเครดิตฟรี สามารถสมัครได้ตนเองที่หน้าเว็บ หรือติดต่อ Callcenter โดย ทางเรามีพนักงานไว้บริการและแก้ปัญหา ตลอด 24 ชั่วโมง สอบถามข้อมูลเพิ่มเติมได้กับแอดมินได้ตลอด 24 ชม.ค่ะ

    EVO Club
    SA Casino

    ReplyDelete

TI-Nspire: Templates to Plot Functions, Parametric Equations, and Sequences

 TI-Nspire:  Templates to Plot Functions, Parametric Equations, and Sequences Introduction The following are sample templates to plot functi...